Немецкий ученый Иоганн Кеплер (1571—1630), первооткрыватель законов движения планет солнечной системы, был крупнейшим математиком и механиком, астрономом и оптиком своего времени.
Гипотеза о ренавномерности движения планет
Поставив перед собой задачу выяснить истинные траектории движения планет вокруг Солнца и имея в своем распоряжении данные многолетних астрономических наблюдений Тихо Браге, выполненных с лучшей для дотелескопической астрономии точностью измерений, Кеплер с самого начала имел мужество отказаться от аксиомы равномерного движения планет и из физических соображений предположил, что планеты перемещаются по своим орбитам быстрее, когда они ближе к Солнцу, и медленнее — в удалении от него.
При этом сами орбиты оставались у него на первых порах окружностями, но со смещенным относительно их центра Солнцем. Предстояло выразить математически зависимость между расстояниями планеты от Солнца и временем, которое требуется на прохождение того или иного участка пути.
К тому времени алгебра, геометрия и тригонометрия, составлявшие математику постоянных величин, накопили определенное количество сведений, достаточных для того, чтобы представлять собой некоторую систему знаний, хотя многое было неясно и незавершено.
Законы Кеплера
Однако здесь Кеплеру пришлось столкнуться со случаем, который не мог быть решен методами математики постоянных величин. Дело сводилось к вычислению площади сектора эксцентрического круга (к вычислению эллиптического интеграла, если использовать терминологию математического анализа).
Хотя Кеплер и не мог дать решение этой задачи в квадратурах, он не отступает перед возникшими трудностями и решает задачу суммированием бесконечно большого числа «актуализированных» бесконечно малых. Этот инфинитезимально-атомистический подход к решению важной и сложной астрономической задачи представлял собой первый в новое время шаг в предыстории математического анализа, последствия которого трудно переоценить.
Здесь же то, что в нашем понимании представляет определенный интеграл, Кеплер трактует как площадь криволинейной трапеции, ограниченной некоторой кривой (конхоидой). И это было принципиально новым шагом в математике переменных величин. Применяемые им здесь методы расчета, по существу, совпадают с современными методами приближенного интегрирования.
Решение данной, задачи для случая эксцентрической окружности привело Кеплера уже в самом начале XVII в. (в 1602 г.) к открытию второго закона движения планет («Площади, описываемые радиусами-векторами «планета — Солнце» в равные промежутки времени, равны между собой»).
Итак, важнейший закон новой небесной механики открывается с помощью специально разработанного принципиально нового матаматического метода, ознаменовавшего фактически начало нового периода развития математики — периода математики переменных величин.
Через три года, в 1605 г., после невероятно трудоемких вычислений, связанных с проверкой различных гипотез, Кеплеру удается открыть и первый закон («Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце»). Поставленная Кеплером задача определения секториальной площади с математической точки зрения и для этого случая осталась без существенных изменений.
Оба закона Кеплера стали достоянием науки с 1609 г., когда была опубликована его знаменитая «Новая астрономия», в которой можно обнаружить и другие случаи интеграции, представляющие большой интерес. Однако выход, этого замечательного произведения с изложением основ небесной механики не сразу привлек к себе должное внимание: даже великий Галилей не смог, по-видимому постичь новые законы движения планет. И разработанным Кеплером математическим методам могло бы надолго угрожать забвение, если бы он сам не предпринял важных шагом для их развития и популяризации.
Новые математические методы
В 1615 г. он выпустил свою «Новую стереометрию, винных бочек», в которой продолжил разработку интеграционных методов и применил их для нахождения объемов более чем девяти десятков тел вращения, подчас довольно сложных. Там же им рассматривались и экстремальные задачи, что приводило уже к другому разделу исчисления бесконечно малых — дифференциальному исчислению.
Эта работа Кеплера уже не прошла незамеченной, и в 1616 г. А. Андерсон, а позже И. Гульдин выступили против его методов суммирования бесконечно малых величин, не понимая, что при всей их нестрогости, очевидной и для самого Кеплера, эти методы были чрезвычайно продуктивны и заключали в себе идеи, очень важные для дальнейшего развития математики.
С другой стороны, уже тогда ученик Галилея Б. Кавальери дал работам Кеплера высокую оценку и многое сделал для дальнейшего развития заложенных в них идей. Вскоре приемы и результаты Кеплера и Кавальери привлекли должное внимание многих крупных математиков XVII в., вызвав целый поток исследований в новой области математики, завершившихся в последней четверти XVII в. оформлением в трудах И. Ньютона и Г. В. Лейбница дифференциального и интегрального исчислений.
Тем самым математика переменных величин надолго заняла ведущее место в системе математических знаний и стала мощнейшим орудием в изучении все новых и новых проблем естествознания и техники.
Необходимость в совершенствовании средств астрономических вычислений привлекла того же Кеплера и к вопросам теории и практики логарифмов. Вслед за Непером (и Бюрги) Кеплер самостоятельно построил теорию логарифмов (в отличие от Непера — на чисто арифметической базе) и на ее основе составил близкие к неперовым, но более точные таблицы логарифмов, впервые изданные в 1624 г. и переиздававшиеся до 1700 г.
Но главным было то, что Кеплер, крупнейший вычислитель своего времени, первым применил логарифмические вычисления для составления знаменитых «Рудольфинских» планетных таблиц, построенных на базе копорпикапской модели планетной системы и своих законов движения планет, — таблиц, в течение длительного времени служивших настольным пособием астрономов всего мира.
Потребности коперниканской астрономии в известной степени стимулировали и развитие механизированных вычислений. Друг Кеплера, сторонник копорникапского учения Вильгельм Шикард уже около 1623 г. построил первую в мире вычислительную машину, предназначенную для выполнения четырех арифметических действий. Двумя другими виднейшими изобретателями в этой области были крупнейшие математики Паскаль (1642) и Лейбниц (1674). Впрочем, уровень развития техники тогда еще был не достаточно высок, чтобы можно было думать о серийном производстве достаточно надежных вычислительных устройств.
Проявленный тем же Кеплером интерес к кривым второго порядка, с одной стороны, и к проблемам астрономической оптики, с другой (а все это вызывалось в конечном счете потребностями в развитии коперникапской астрономии), привел его к разработке общего принципа непрерывности — важного эвристического приема, который позволяет находить свойства одного объекта из свойств другого, если первый можно получить из другого путем предельного перехода.
В книге «Дополнения к Вителлину или оптическая часть астрономии» (1604) Кеплер, изучая конические сечения, интерпретирует параболу как гиперболу или эллипс с бесконечно удаленным фокусом, в чем и состоит первый в истории математики случай применения общего принципа непрерывности.
Но введением понятия бесконечно удаленной точки Кеплер предпринял важный шаг на пути к созданию еще одного раздела математики — проективной геометрии, дальнейшие шаги в развитии которой были сделаны три с лишним десятилетия спустя Ж. Дезаргом и Б. Паскалем.
Итак, законы Кеплера, открытые с помощью новых математических методов, обосновали коперниково учение кинематически, они открыли путь Ньютону для формулировки закона всемирного тяготения, с помощью которого теории Коперника давалось и динамическое обоснование. Кеплер, и Ньютон — крупнейшие математики своего времени.
Белый Ю.А. Коперник, коперниканизм и развитие естествознания // Историко-астрономические исследования. Выпуск XII. – М.: Наука, 1975. С. 66-69.